** Une suite non convergente

On considère la suite $(u_n)$  définie par $u_0=0$  et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=f(u_n)$  où $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)=x+{\text{e}}^{-x}$ .

1. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ .

2. On admet que, si la suite converge vers un réel $\ell$ , alors $\ell$  est une solution de l'équation $f(x)=x$ .   
    a. Montrer que la suite $(u_n)$  n'est pas majorée.
    b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$ .